7.25. \(cos 2\alpha + \frac{2 sin 2\alpha}{ctg \alpha - tg \alpha} = \frac{1}{cos 2\alpha}\)

Нам нужно упростить выражение: \(cos 2\alpha + \frac{2 sin 2\alpha}{ctg \alpha - tg \alpha}\). Мы знаем, что \(ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\) и \(tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\), а также \(sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha\) и \(cos 2\alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha\). Итак, у нас есть: \(cos 2\alpha + \frac{2 sin 2\alpha}{\frac{cos \alpha}{sin \alpha} - \frac{sin \alpha}{cos \alpha}} = cos 2\alpha + \frac{4 sin \alpha cos \alpha}{\frac{cos^2 \alpha - sin^2 \alpha}{sin \alpha cos \alpha}} = cos 2\alpha + \frac{4 sin^2 \alpha cos^2 \alpha}{cos^2 \alpha - sin^2 \alpha} = cos 2\alpha + \frac{4 sin^2 \alpha cos^2 \alpha}{cos 2\alpha}\). \(\frac{cos^2 2\alpha + 4 sin^2 \alpha cos^2 \alpha}{cos 2\alpha} = \frac{(cos^2 \alpha - sin^2 \alpha)^2 + 4 sin^2 \alpha cos^2 \alpha}{cos 2\alpha} = \frac{cos^4 \alpha - 2 sin^2 \alpha cos^2 \alpha + sin^4 \alpha + 4 sin^2 \alpha cos^2 \alpha}{cos 2\alpha} = \frac{cos^4 \alpha + 2 sin^2 \alpha cos^2 \alpha + sin^4 \alpha}{cos 2\alpha} = \frac{(cos^2 \alpha + sin^2 \alpha)^2}{cos 2\alpha} = \frac{1}{cos 2\alpha}\). Таким образом, \(cos 2\alpha + \frac{2 sin 2\alpha}{ctg \alpha - tg \alpha} = \frac{1}{cos 2\alpha}\).