7.30. \(1 + (ctg^2 \alpha - tg^2 \alpha) \cdot cos^2 \alpha = ctg^2 \alpha\)

Нам нужно упростить выражение: \(1 + (ctg^2 \alpha - tg^2 \alpha) \cdot cos^2 \alpha\). Мы знаем, что \(ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\) и \(tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\). Итак, у нас есть: \(1 + (ctg^2 \alpha - tg^2 \alpha) \cdot cos^2 \alpha = 1 + (\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} - \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}) \cdot cos^2 \alpha = 1 + (\frac{cos^4 \alpha - sin^4 \alpha}{sin^2 \alpha cos^2 \alpha}) \cdot cos^2 \alpha = 1 + \frac{cos^4 \alpha - sin^4 \alpha}{sin^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha + cos^4 \alpha - sin^4 \alpha}{sin^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha + cos^4 \alpha - (1 - cos^2 \alpha)^2}{sin^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha + cos^4 \alpha - (1 - 2cos^2 \alpha + cos^4 \alpha)}{sin^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha + cos^4 \alpha - 1 + 2cos^2 \alpha - cos^4 \alpha}{sin^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha - 1 + 2cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} = \frac{-cos^2 \alpha + 2cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} = \frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} = ctg^2 \alpha\). Таким образом, \(1 + (ctg^2 \alpha - tg^2 \alpha) \cdot cos^2 \alpha = ctg^2 \alpha\).