7.23. \(\frac{1 - 2sin^2 \alpha}{sin \alpha + cos \alpha} + sin \alpha = cos \alpha\)

Нам нужно упростить выражение: \(\frac{1 - 2sin^2 \alpha}{sin \alpha + cos \alpha} + sin \alpha\). Мы знаем, что \(cos 2\alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha = 1 - 2sin^2 \alpha\). Итак, у нас есть: \(\frac{cos 2\alpha}{sin \alpha + cos \alpha} + sin \alpha = \frac{cos^2 \alpha - sin^2 \alpha}{sin \alpha + cos \alpha} + sin \alpha\). Раскладываем числитель на множители: \(\frac{(cos \alpha - sin \alpha)(cos \alpha + sin \alpha)}{sin \alpha + cos \alpha} + sin \alpha = cos \alpha - sin \alpha + sin \alpha = cos \alpha\). Таким образом, \(\frac{1 - 2sin^2 \alpha}{sin \alpha + cos \alpha} + sin \alpha = cos \alpha\).