7.21. \(tg^2 \alpha + sin^2 \alpha - \frac{1}{cos^2 \alpha} = -cos^2 \alpha\)

Нам нужно упростить выражение: \(tg^2 \alpha + sin^2 \alpha - \frac{1}{cos^2 \alpha}\). Мы знаем, что \(\frac{1}{cos^2 \alpha} = sec^2 \alpha\) и \(tg^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}\). Также, \(sec^2 \alpha = 1 + tg^2 \alpha\). Итак, у нас есть: \(tg^2 \alpha + sin^2 \alpha - sec^2 \alpha = tg^2 \alpha + sin^2 \alpha - (1 + tg^2 \alpha) = sin^2 \alpha - 1\). Поскольку \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\), то \(sin^2 \alpha - 1 = -cos^2 \alpha\). Таким образом, \(tg^2 \alpha + sin^2 \alpha - \frac{1}{cos^2 \alpha} = -cos^2 \alpha\).