7.29. \(\frac{tg^2 \alpha}{1 + tg^2 \alpha} + \frac{ctg^2 \alpha}{1 + ctg^2 \alpha} = 1\)

Нам нужно упростить выражение: \(\frac{tg^2 \alpha}{1 + tg^2 \alpha} + \frac{ctg^2 \alpha}{1 + ctg^2 \alpha}\). Мы знаем, что \(1 + tg^2 \alpha = sec^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}\) и \(1 + ctg^2 \alpha = cosec^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha}\), также \(tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\) и \(ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\). Итак, у нас есть: \(\frac{tg^2 \alpha}{1 + tg^2 \alpha} + \frac{ctg^2 \alpha}{1 + ctg^2 \alpha} = \frac{\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}{\frac{1}{cos^2 \alpha}} + \frac{\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}}{\frac{1}{sin^2 \alpha}} = sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\). Таким образом, \(\frac{tg^2 \alpha}{1 + tg^2 \alpha} + \frac{ctg^2 \alpha}{1 + ctg^2 \alpha} = 1\).