7.22. \(\frac{1}{sin \alpha} - \frac{sin \alpha}{1 + cos \alpha} = ctg \alpha\)

Нам нужно упростить выражение: \(\frac{1}{sin \alpha} - \frac{sin \alpha}{1 + cos \alpha}\). Приведем к общему знаменателю: \(\frac{1 + cos \alpha - sin^2 \alpha}{sin \alpha (1 + cos \alpha)}\). Поскольку \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\), то \(1 - sin^2 \alpha = cos^2 \alpha\). Поэтому, \(\frac{1 + cos \alpha - sin^2 \alpha}{sin \alpha (1 + cos \alpha)} = \frac{cos^2 \alpha + cos \alpha}{sin \alpha (1 + cos \alpha)} = \frac{cos \alpha (cos \alpha + 1)}{sin \alpha (1 + cos \alpha)} = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\). Так как \(ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\), то \(\frac{1}{sin \alpha} - \frac{sin \alpha}{1 + cos \alpha} = ctg \alpha\).