6. Диагональ ES ромба EFSA равна 96, a tg ∠FSE = \(\frac{7}{24}\). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 21

• Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда EO = OS = \(\frac{1}{2} \cdot ES = \frac{1}{2} \cdot 96 = 48\).
• Тангенс угла FSE равен отношению противолежащего катета FO к прилежащему OE в прямоугольном треугольнике FOE: \(\tg(\angle FSE) = \frac{FO}{OE}\), следовательно, \(\frac{7}{24} = \frac{FO}{48}\), откуда \(FO = \frac{7 \cdot 48}{24} = 14\).
• Тогда вторая диагональ FA = 2 \cdot FO = 2 \cdot 14 = 28\).
• Сторона ромба EF равна \(\sqrt{EO^2 + FO^2} = \sqrt{48^2 + 14^2} = \sqrt{2304 + 196} = \sqrt{2500} = 50\).
• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \(S = \frac{1}{2} \cdot ES \cdot FA = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 28 = 1344\).
• Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту: \(S = EF \cdot h\), следовательно, \(1344 = 50 \cdot h\), откуда \(h = \frac{1344}{50} = 26.88\).
• Радиус вписанной окружности равен половине высоты: \(r = \frac{h}{2} = \frac{26.88}{2} = 13.44\).

Ответ: 13.44