224 Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4√2 см.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Диагональ $$AC_1$$ призмы наклонена к плоскости основания под углом $$60^\circ$$. Сечение проходит через сторону нижнего основания $$AD$$ и противолежащую сторону верхнего основания $$B_1C_1$$. Это сечение - прямоугольник $$ADC_1B_1$$.

Найдем сторону основания. Диагональ основания $$AC = 4\sqrt{2}$$. Так как в основании квадрат, то $$AC = a\sqrt{2}$$, где $$a$$ - сторона основания.

$$a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

$$a = 4$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. Угол $$CAC_1 = 60^\circ$$.

$$tg(60^\circ) = \frac{CC_1}{AC}$$ $$\sqrt{3} = \frac{CC_1}{4\sqrt{2}}$$ $$CC_1 = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$$ см - высота призмы.

Площадь сечения $$S = AD \cdot CC_1 = 4 \cdot 4\sqrt{6} = 16\sqrt{6}$$ см².

Ответ: $$16\sqrt{6}$$ см²