232 Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная д, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из боковых граней — угол α. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Диагональ $$AC_1 = d$$ образует с плоскостью основания угол $$\varphi$$, а с боковой гранью $$AA_1D_1D$$ угол $$\alpha$$. Нужно найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Обозначим стороны основания $$a$$ и $$b$$, высоту параллелепипеда $$h$$. Тогда диагональ основания $$AC = \sqrt{a^2 + b^2}$$, $$h = dsin(\varphi)$$. $$S_{бок} = 2(a+b)h = 2(a+b)dsin(\varphi)$$.

$$a = AC_1cos(\varphi) = dcos(\varphi)$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1C_1$$. В нём $$AA_1 = h = dsin(\varphi)$$, $$AC_1 = d$$, угол $$AA_1C_1$$ = $$\alpha$$. Тогда

$$AD = A_1D_1 = dcos(\alpha)$$ $$a^2 + b^2 = d^2cos^2(\varphi)$$ $$b = dcos(\alpha)$$

Подставим это в выражение для боковой поверхности:

$$S_{бок} = 2(a+b)dsin(\varphi) = 2(dcos(\alpha) + dcos(\varphi))dsin(\varphi) = 2d^2sin(\varphi)(cos(\alpha) + cos(\varphi))$$

Ответ: 2d²sin(φ)(cos(α) + cos(φ))