227 Основание призмы — правильный треугольник АВС. Боковое ребро АА, образует равные углы со сторонами основания АС и АВ. Докажите, что: а) ВС⊥ АА₁; б) СС₁В₁В — прямоугольник.

а) Доказательство, что BC ⊥ AA₁:

1. Равенство углов: Поскольку боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB, то ∠A₁AC = ∠A₁AB.

2. Проекция AA₁ на основание: Проекция точки A₁ на плоскость основания (точка О) является основанием высоты, опущенной из точки A₁ на плоскость ABC. Так как углы ∠A₁AC и ∠A₁AB равны, то проекция точки A₁ равноудалена от точек B и C. Следовательно, проекция точки A₁ лежит на медиане, проведенной из вершины A на сторону BC.

3. Перпендикулярность: Пусть О - проекция точки A₁ на плоскость ABC. Рассмотрим треугольник AA₁O. Так как AO - медиана и высота в равностороннем треугольнике ABC, то AO ⊥ BC. Поскольку плоскость AA₁O содержит ребро AA₁, и AO ⊥ BC, то AA₁ ⊥ BC.

Таким образом, доказано, что BC ⊥ AA₁.

б) Доказательство, что CC₁B₁B — прямоугольник:

1. Параллельность сторон: Так как призма прямая, то боковые ребра CC₁ и BB₁ перпендикулярны плоскости основания ABC. Это означает, что CC₁ || BB₁.

2. Прямые углы: Так как призма прямая, то углы ∠CC₁B₁ и ∠BB₁C₁ являются прямыми.

3. Параллелограмм: Четырехугольник CC₁B₁B является параллелограммом, так как CC₁ || BB₁ и CC₁ = BB₁ (по определению призмы).

4. Прямоугольник: Параллелограмм CC₁B₁B, у которого углы ∠CC₁B₁ и ∠BB₁C₁ прямые, является прямоугольником.

Таким образом, доказано, что CC₁B₁B — прямоугольник.

Ответ: Доказано