229 В правильной п-угольной призме сторона основания равна а и высота равна һ. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) п=3, а=10 см, h=15 см; б) п=4, а=12 дм, h=8 дм; в) п=6, а=23 см, h=5 дм; г) п=5, а=0,4 м, h=10 см.

Площадь боковой поверхности правильной n-угольной призмы вычисляется по формуле:

$$S_{бок} = n \cdot a \cdot h$$

где n - количество сторон основания, a - сторона основания, h - высота призмы.

Площадь полной поверхности правильной n-угольной призмы вычисляется по формуле:

$$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$$

где Sосн - площадь основания.

а) n=3, a=10 см, h=15 см

Основание - правильный треугольник. Площадь правильного треугольника:

$$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450 \text{ см}^2$$

Площадь полной поверхности:

$$S_{полн} = 450 + 2 \cdot 25\sqrt{3} = 450 + 50\sqrt{3} \text{ см}^2$$

б) n=4, a=12 дм, h=8 дм

Основание - квадрат. Площадь квадрата:

$$S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ дм}^2$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384 \text{ дм}^2$$

Площадь полной поверхности:

$$S_{полн} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672 \text{ дм}^2$$

в) n=6, a=23 см, h=5 дм

Переведем высоту в см: h = 5 дм = 50 см.

Основание - правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника:

$$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 23^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 529 = \frac{1587\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = 6 \cdot 23 \cdot 50 = 6900 \text{ см}^2$$

Площадь полной поверхности:

$$S_{полн} = 6900 + 2 \cdot \frac{1587\sqrt{3}}{2} = 6900 + 1587\sqrt{3} \text{ см}^2$$

г) n=5, a=0,4 м, h=10 см

Переведем сторону основания и высоту в см: a = 0,4 м = 40 см, h = 10 см.

Основание - правильный пятиугольник. Площадь правильного пятиугольника:

$$S_{осн} = \frac{5}{4}a^2ctg(\frac{\pi}{5}) = \frac{5}{4} \cdot 40^2 \cdot ctg(36^\circ) = \frac{5}{4} \cdot 1600 \cdot ctg(36^\circ) = 2000ctg(36^\circ) \text{ см}^2$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = 5 \cdot 40 \cdot 10 = 2000 \text{ см}^2$$

Площадь полной поверхности:

$$S_{полн} = 2000 + 2 \cdot 2000ctg(36^\circ) = 2000 + 4000ctg(36^\circ) \text{ см}^2$$

Ответ:

• а) Sбок = 450 см², Sполн = 450 + 50√3 см²
• б) Sбок = 384 дм², Sполн = 672 дм²
• в) Sбок = 6900 см², Sполн = 6900 + 1587√3 см²
• г) Sбок = 2000 см², Sполн = 2000 + 4000ctg(36°) см²