228 Основанием наклонной призмы АВСА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=13 см, ВС=10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины А₁ является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС₁В₁В.

Пусть дана наклонная призма $$ABCA_1B_1C_1$$. Основание - равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$AC = AB = 13$$ см, $$BC = 10$$ см. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $$45^\circ$$. Проекция вершины $$A_1$$ является точкой пересечения медиан треугольника $$ABC$$. Нужно найти площадь грани $$CC_1B_1B$$.

Пусть $$O$$ - точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, которая является проекцией вершины $$A_1$$ на плоскость основания. Тогда $$AO$$ - медиана, высота и биссектриса треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. В нем $$AB = 13$$ см, $$BO = \frac{1}{2}BC = 5$$ см. Тогда по теореме Пифагора:

$$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Так как $$O$$ - точка пересечения медиан, то $$AO = \frac{2}{3}AM$$, где $$AM$$ - медиана треугольника $$ABC$$, проведенная к стороне $$BC$$. Тогда

$$AM = \frac{3}{2}AO = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18 \text{ см}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1AO$$. В нем угол $$A_1AO = 45^\circ$$, следовательно, $$A_1O = AO = 12$$ см.

Так как $$A_1O$$ - проекция ребра $$AA_1$$ на плоскость основания, то $$A_1O ⊥ BC$$. Значит, грань $$CC_1B_1B$$ - параллелограмм со стороной $$BC = 10$$ см и высотой $$A_1O = 12$$ см.

Площадь грани $$CC_1B_1B$$ равна произведению стороны $$BC$$ на высоту $$A_1O$$.

$$S = BC \cdot A_1O = 10 \cdot 12 = 120 \text{ см}^2$$

Ответ: 120 см²