233 Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ, проведено сечение BB₁D₁D, перпендикулярное к плоскости грани АА.С.С. Найдите площадь сечения, если АА₁=10 см, AD=27 см, DC=12 см.

В основании прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ лежит прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$B$$. Через ребро $$BB_1$$ проведено сечение $$BB_1D_1D$$, перпендикулярное к плоскости грани $$AA_1C_1C$$. Нужно найти площадь сечения, если $$AA_1 = 10$$ см, $$AD = 27$$ см, $$DC = 12$$ см.

Так как сечение $$BB_1D_1D$$ перпендикулярно к плоскости $$AA_1C_1C$$, то линия пересечения этих плоскостей - высота прямоугольного треугольника $$ADC$$, проведенная из вершины прямого угла $$B$$ к гипотенузе $$AC$$. Обозначим эту высоту $$BD$$.

Так как $$AD = 27$$ см и $$DC = 12$$ см, то $$AC = AD + DC = 27 + 12 = 39$$ см. Известно, что $$BD \cdot AC = AB \cdot BC$$, а также $$AB^2 + BC^2 = AC^2 = 39^2$$.

Из подобия треугольников $$ABD$$ и $$ABC$$ следует, что $$AB^2 = AD \cdot AC$$, а из подобия треугольников $$CBD$$ и $$ABC$$ следует, что $$BC^2 = CD \cdot AC$$.

$$AB^2 = 27 \cdot 39 = 1053$$ $$BC^2 = 12 \cdot 39 = 468$$

Тогда $$AB = \sqrt{1053} = 9\sqrt{13}$$ см, $$BC = \sqrt{468} = 6\sqrt{13}$$ см. Находим высоту $$BD = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{9\sqrt{13} \cdot 6\sqrt{13}}{39} = \frac{54 \cdot 13}{39} = 18$$ см.

Площадь сечения $$BB_1D_1D$$ равна произведению высоты $$BB_1$$ на сторону $$BD$$:

$$S = BB_1 \cdot BD = 10 \cdot 18 = 180 \text{ см}^2$$

Ответ: 180 см²