225 Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Диагональ $$AC_1$$ образует с плоскостью боковой грани $$CC_1B_1B$$ угол $$30^\circ$$. Нужно найти угол между диагональю $$AC_1$$ и плоскостью основания $$ABC$$ (угол $$C_1AC$$).

Обозначим сторону основания призмы $$a$$, а высоту призмы $$h$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. В нем $$AC = a\sqrt{2}$$, $$CC_1 = h$$, $$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$C_1CB$$. В нем $$C_1C = h$$, $$BC = a$$, $$BC_1 = \sqrt{h^2 + a^2}$$.

Угол между $$AC_1$$ и плоскостью боковой грани равен углу $$AC_1B = 30^\circ$$. Тогда

$$sin(30^\circ) = \frac{AB}{AC_1} = \frac{a}{\sqrt{2a^2 + h^2}} = \frac{1}{2}$$ $$2a = \sqrt{2a^2 + h^2}$$ $$4a^2 = 2a^2 + h^2$$ $$2a^2 = h^2$$ $$h = a\sqrt{2}$$

Теперь найдем угол между диагональю $$AC_1$$ и плоскостью основания, то есть угол $$C_1AC$$.

$$tg(\angle C_1AC) = \frac{C_1C}{AC} = \frac{h}{a\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$$ $$\angle C_1AC = arctg(1) = 45^\circ$$

Ответ: 45°