Длина вектора а равна 3, угол между векторами а и b равен 45°, а скалярное произведение аб равно 15√2. Найдите длину вектора b.

Ответ: 5√2

Решение:

Шаг 1: Запишем формулу скалярного произведения векторов: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\theta}\] где \[\theta\] - угол между векторами.

Шаг 2: Подставим известные значения: \[15\sqrt{2} = 3 \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{45^\circ}\]

Шаг 3: Зная, что \[\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] , получим: \[15\sqrt{2} = 3 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Шаг 4: Решим уравнение относительно \[|\vec{b}|\]:\[15\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot |\vec{b}|\]\[|\vec{b}| = \frac{15\sqrt{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{15\sqrt{2} \cdot 2}{3\sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 10\]

Шаг 5: Делим обе части на \(\sqrt{2}\):

Ответ: 10