Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: a) A (-3;-1), B (1; −1), C (1; −3), D (-3; −3); б) А (4; 1), В (3; 5), C (-1; 4), D (0; 0).

Разберем эту задачу по геометрии вместе! Нужно доказать, что ABCD — прямоугольник, и найти его площадь. а) A (-3;-1), B (1; −1), C (1; −3), D (-3; −3) 1. Докажем, что ABCD — прямоугольник. Для этого нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны, а также, что углы между смежными сторонами прямые. \(\vec{AB} = (1 - (-3); -1 - (-1)) = (4; 0)\) \(\vec{DC} = (1 - (-3); -3 - (-3)) = (4; 0)\) \(\vec{AD} = (-3 - (-3); -3 - (-1)) = (0; -2)\) \(\vec{BC} = (1 - 1; -3 - (-1)) = (0; -2)\) Так как \(\vec{AB} = \vec{DC}\) и \(\vec{AD} = \vec{BC}\), противоположные стороны параллельны и равны. Теперь проверим, что углы прямые, то есть векторы смежных сторон перпендикулярны. Для этого скалярное произведение смежных векторов должно быть равно 0. \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (4 \cdot 0) + (0 \cdot (-2)) = 0\) Так как \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\), угол между сторонами AB и AD прямой. Следовательно, ABCD — прямоугольник. 2. Найдем площадь прямоугольника. Длина стороны AB = \(\sqrt{(4)^2 + (0)^2} = 4\) Длина стороны AD = \(\sqrt{(0)^2 + (-2)^2} = 2\) Площадь S = AB * AD = 4 * 2 = 8 б) А (4; 1), В (3; 5), C (-1; 4), D (0; 0) 1. Докажем, что ABCD — прямоугольник. \(\vec{AB} = (3 - 4; 5 - 1) = (-1; 4)\) \(\vec{DC} = (-1 - 0; 4 - 0) = (-1; 4)\) \(\vec{AD} = (0 - 4; 0 - 1) = (-4; -1)\) \(\vec{BC} = (-1 - 3; 4 - 5) = (-4; -1)\) Так как \(\vec{AB} = \vec{DC}\) и \(\vec{AD} = \vec{BC}\), противоположные стороны параллельны и равны. Проверим, что углы прямые: \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = ((-1) \cdot (-4)) + (4 \cdot (-1)) = 4 - 4 = 0\) Так как \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\), угол между сторонами AB и AD прямой. Следовательно, ABCD — прямоугольник. 2. Найдем площадь прямоугольника. Длина стороны AB = \(\sqrt{(-1)^2 + (4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\) Длина стороны AD = \(\sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\) Площадь S = AB * AD = \(\sqrt{17} * \sqrt{17} = 17\)

Ответ: а) ABCD — прямоугольник, площадь равна 8; б) ABCD — прямоугольник, площадь равна 17.

Замечательно! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!