444* Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпенди- кулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.

Решение:

1. Пусть фигура F имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии - прямые l и m, пересекающиеся в точке O.
2. Пусть X - произвольная точка фигуры F. Отразим точку X относительно прямой l. Получим точку X'. Так как l - ось симметрии фигуры F, то точка X' также принадлежит фигуре F.
3. Теперь отразим точку X' относительно прямой m. Получим точку X''. Так как m - ось симметрии фигуры F, то точка X'' также принадлежит фигуре F.
4. В результате двух последовательных отражений относительно двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через точку O, точка X перешла в точку X''. Это эквивалентно центральной симметрии относительно точки O.
5. Таким образом, для любой точки X фигуры F её отражение X'' относительно точки O также принадлежит фигуре F. Следовательно, точка O является центром симметрии фигуры F.

Проверка за 10 секунд: Провели два последовательных отражения.

Доп. профит: Две взаимно перпендикулярные оси симметрии гарантируют наличие центра симметрии.