431 Точка к – середина медианы АМ треугольника АВС. Пря- мая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD = AC.

Решение:

Пусть AK = KM = x. Тогда AM = 2x. Применим теорему Менелая к треугольнику AMC и секущей BD: \[ \frac{AD}{DC} \cdot \frac{CB}{BM} \cdot \frac{MK}{KA} = 1 \] Так как AM - медиана, то BM = MC. Тогда CB = 2BM. \[ \frac{AD}{DC} \cdot \frac{2BM}{BM} \cdot \frac{x}{x} = 1 \] \[ \frac{AD}{DC} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \] \[ \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} \] Тогда DC = 2AD. AC = AD + DC = AD + 2AD = 3AD. Следовательно, \[AD = \frac{1}{3} AC\] Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Применили теорему Менелая и нашли отношение отрезков.

Доп. профит: Теорема Менелая - мощный инструмент для решения задач на отношение отрезков в треугольнике.