439* Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Решение:

1. Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC, где AD > BC. Пусть M - середина AD, N - середина BC. Пусть углы A и D при основании AD в сумме составляют 90°.
2. Продолжим боковые стороны AB и CD до пересечения в точке E.
3. Так как сумма углов A и D равна 90°, то угол AED = 180° - (угол A + угол D) = 180° - 90° = 90°. Значит, треугольник AED - прямоугольный.
4. В прямоугольном треугольнике AED медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Пусть EM - медиана. Тогда EM = AM = MD = AD/2.
5. Аналогично, треугольник BEC - прямоугольный, и EN - медиана. Тогда EN = BN = NC = BC/2.
6. MN = EM - EN = AD/2 - BC/2 = (AD - BC) / 2.

Проверка за 10 секунд: Выразили отрезок через медианы в прямоугольных треугольниках.

Доп. профит: Построение дополнительных элементов - мощный метод в геометрии.