437 На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что АМ = АВ. Через точку М проведена прямая, перпендикуляр- ная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажите, что ВН = HM = МС.

Решение:

1. Пусть сторона квадрата ABCD равна a. Тогда AM = AB = a.
2. Диагональ квадрата AC = a\(\sqrt{2}\). Следовательно, MC = AC - AM = a\(\sqrt{2}\) - a = a(\(\sqrt{2}\) - 1).
3. Угол ACB = 45 градусов (диагональ квадрата является биссектрисой угла).
4. Так как MH перпендикулярна AC, то угол MHC = 90 градусов.
5. Рассмотрим треугольник MHC. Он прямоугольный, и угол MCH = 45 градусов. Следовательно, угол CMH = 180 - 90 - 45 = 45 градусов. Значит, треугольник MHC - равнобедренный (углы при основании равны).
6. Следовательно, MH = MC = a(\(\sqrt{2}\) - 1).
7. Так как угол BCD = 90 градусов, то BH = BC - HC = a - MC = a - a(\(\sqrt{2}\) - 1) = a - a\(\sqrt{2}\) + a = 2a - a\(\sqrt{2}\) = a(2 - \(\sqrt{2}\)).

Проверка за 10 секунд: Выразили все отрезки через сторону квадрата.

Доп. профит: Знание свойств квадрата сильно помогает при решении задач.