433 Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является бис- сектрисой угла КВМ.

Решение:

1. В ромбе ABCD диагональ BD является биссектрисой угла ADC (свойство ромба). Обозначим угол BDC = углу BDA = \(\alpha\).
2. Рассмотрим четырехугольник DKBM. Сумма его углов равна 360 градусов. Углы DKB и DMB прямые (по условию), значит, угол KBM + угол KDM = 180 градусов.
3. Угол KDM = углу ADC (это один и тот же угол). Значит, угол KBM = 180 - угол ADC. Так как угол ADC = 2\(\alpha\), то угол KBM = 180 - 2\(\alpha\).
4. Рассмотрим угол KBD. Он равен углу KBM - углу DBM. Но угол DBM = углу DBC (так как BD - биссектриса угла ADC). Значит, угол KBD = (180 - 2\(\alpha\)) - \(\alpha\) = 180 - 3\(\alpha\).
5. Рассмотрим треугольник BDM. Он прямоугольный, значит, угол DBM = 90 - угол BDM = 90 - \(\alpha\).
6. Тогда угол KBD = угол KBM - углу DBM = (180 - 2\(\alpha\)) - (90 - \(\alpha\)) = 90 - \(\alpha\).
7. Так как угол KBM = 180 - 2\(\alpha\), а угол KBD = 90 - \(\alpha\), то угол MBD = углу KBM - углу KBD = (180 - 2\(\alpha\)) - (90 - \(\alpha\)) = 90 - \(\alpha\).
8. Таким образом, угол KBD = углу MBD = 90 - \(\(\alpha\)\, что означает, что BD - биссектриса угла KBM.

Проверка за 10 секунд: Использовали свойства ромба и углы в прямоугольных треугольниках.

Доп. профит: Знание свойств геометрических фигур сильно упрощает решение задач.