432 Точки Ми № - середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части.

Решение:

1. Пусть O - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Тогда AO = OC и BO = OD (свойство диагоналей параллелограмма).
2. Так как M и N - середины сторон AD и BC соответственно, то AM = \(\frac{1}{2}\)AD и NC = \(\frac{1}{2}\)BC.
3. Поскольку AD = BC (свойство параллелограмма), то AM = NC.
4. Рассмотрим четырехугольник AMCN. AM || NC (так как AD || BC), и AM = NC. Следовательно, AMCN - параллелограмм (по признаку).
5. Значит, AN || MC (свойство параллелограмма).
6. Пусть AN пересекает BD в точке Q, а MC пересекает BD в точке P. Рассмотрим треугольник BNC. Так как NQ || MC, то по теореме Фалеса: BN/NC = BQ/QP. Но BN = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)AD = MD.
7. Рассмотрим треугольник AMD. Так как MP || AN, то по теореме Фалеса: AM/MD = AP/PD. Но AM = NC = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)AD.
8. Следовательно, BQ/QP = DP/PA, что означает, что точки Q и P делят диагональ BD на три равные части: BQ = QP = PD.

Проверка за 10 секунд: Использовали свойства параллелограмма и теорему Фалеса.

Доп. профит: Теорема Фалеса - мощный инструмент при решении задач на параллельные прямые.