430 Докажите, что выпуклый четырёхугольник является паралле- лограммом, если его противоположные углы попарно равны.

Доказательство:

Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, в котором \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°:
\[\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\]
Так как \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\), то:
\[2 \cdot \angle A + 2 \cdot \angle B = 360^\circ\]
\[\angle A + \angle B = 180^\circ\]
Это означает, что углы A и B - односторонние углы при прямых AD и BC и секущей AB. Следовательно, AD || BC.

Аналогично, углы A и D - односторонние углы при прямых AB и CD и секущей AD. Следовательно, AB || CD.

Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны (AD || BC и AB || CD), что по определению означает, что ABCD - параллелограмм.

Что и требовалось доказать.