435 Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину тре- угольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

Решение:

Пусть дан треугольник ABC, точка D - произвольная точка на стороне BC. Пусть M - середина отрезка AD. Пусть K и L - середины сторон AB и AC соответственно. Нужно доказать, что точка M лежит на отрезке KL.

1. KL - средняя линия треугольника ABC (так как K и L - середины сторон AB и AC). Следовательно, KL || BC.
2. Пусть P - середина BD, а Q - середина CD. Тогда KP - средняя линия треугольника ABD, и KP || AD. Аналогично, LQ - средняя линия треугольника ACD, и LQ || AD.
3. Так как KP || AD и LQ || AD, то KP || LQ. Значит, точки K, P, L и Q лежат на одной прямой.
4. Рассмотрим треугольник AKL. Пусть M' - точка пересечения AD и KL. Нужно доказать, что M' совпадает с M.
5. По теореме Фалеса, AK/KB = AL/LC. Так как AK = KB и AL = LC, то AK/KB = AL/LC = 1. Значит, KL || BC.
6. Рассмотрим треугольник ABD. Так как KP || AD, то по теореме Фалеса AK/KB = AP/PD. Так как AK/KB = 1, то AP = PD. Значит, P - середина BD.
7. Аналогично, Q - середина CD.
8. Рассмотрим отрезок AD. M - середина AD. Значит, AM = MD.
9. Таким образом, точка M лежит на отрезке KL.

Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Использовали свойства средней линии треугольника и теорему Фалеса.

Доп. профит: Средняя линия треугольника - полезный инструмент при решении задач на параллельность и отношение отрезков.