438 В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Най- дите AD, если периметр трапеции равен 20 см, а ∠D = 60°.

Решение:

1. Пусть угол BAC = углу CAD = \(\alpha\).
2. Так как AC перпендикулярна CD, то угол ACD = 90 градусов.
3. В трапеции ABCD AD || BC. Значит, угол BCA = углу CAD = \(\alpha\) (как накрест лежащие).
4. В треугольнике ABC угол ABC = 180 - угол BAC - угол BCA = 180 - \(\alpha\) - \(\alpha\) = 180 - 2\(\alpha\).
5. В трапеции ABCD угол ADC = 60 градусов. Значит, угол BAD = 180 - угол ADC = 180 - 60 = 120 градусов.
6. В треугольнике ACD угол CAD = угол BAD - угол BAC = 120 - \(\alpha\).
7. В трапеции ABCD сумма углов при боковой стороне равна 180 градусов. Значит, угол BCD = 180 - угол ADC = 180 - 60 = 120 градусов.
8. Рассмотрим треугольник ACD. В нем угол CAD = \(\alpha\), угол ACD = 90 градусов, угол ADC = 60 градусов. Значит, \(\alpha\) = 30 градусов.
9. Тогда угол ABC = 180 - 2\(\alpha\) = 180 - 2 * 30 = 120 градусов.
10. Значит, угол ABC = углу BCD = 120 градусов. Следовательно, трапеция ABCD - равнобедренная.
11. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны: AB = CD.
12. В треугольнике ACD угол CAD = 30 градусов, угол ACD = 90 градусов, угол ADC = 60 градусов. Значит, AD = 2CD.
13. Так как P = AB + BC + CD + AD = 20, то CD + BC + CD + 2CD = 20. Значит, 4CD + BC = 20.
14. BC = AD - AB = AD - CD = 2CD - CD = CD.
15. Тогда 4CD + CD = 20. Значит, 5CD = 20. Следовательно, CD = 4.
16. Тогда AD = 2CD = 2 * 4 = 8.

Проверка за 10 секунд: Нашли углы и использовали свойства равнобедренной трапеции.

Доп. профит: Равнобедренная трапеция - полезный геометрический объект с интересными свойствами.