Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Доказательство: 1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и углом A = 30°. Тогда угол B = 180 - 90 - 30 = 60°. 2. Достроим треугольник ABC до треугольника ABD, отразив его относительно катета BC. Получится треугольник ABD, где угол BAD равен 60°, а угол ABD равен 60°. Следовательно, треугольник ABD является равносторонним. 3. Так как ABC - это половина треугольника ABD, то сторона AC = 1/2 AD. Так как AD = AB, то катет AC (лежащий против угла в 30°) равен половине гипотенузы AB. Обратное утверждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30°. Доказательство: 1. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 1/2 * AB. 2. Построим треугольник ABD, отразив ABC относительно катета BC. Так как AC = 1/2 AB, то AD=AB=BD, значит треугольник ABD равносторонний. 3. Все углы треугольника ABD равны 60 градусам. А значит угол BAC равен половине угла BAD, т.е. 30 градусам. Итого: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, и наоборот.