Докажите, что в треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство: 1) Против большей стороны лежит больший угол: Представим треугольник ABC, где AB > BC. На стороне AB отметим точку D так, что BD=BC. Получим равнобедренный треугольник BDC, где углы \(\angle\)BDC=\(\angle\)BCD. Угол \(\angle\)BDC является внешним углом для треугольника ADC. Из этого следует, что \(\angle\)BDC > \(\angle\)DAC. Тогда, \(\angle\)BCD = \(\angle\)BDC > \(\angle\)DAC. Угол \(\angle\)BCA = \(\angle\)BCD + \(\angle\)DCA, то \(\angle\)BCA > \(\angle\)BCD > \(\angle\)BAC. Получается что угол, который лежит напротив большей стороны больше. 2) Против большего угла лежит большая сторона: Пусть в треугольнике ABC \(\angle\)BAC > \(\angle\)BCA. Предположим, что BC меньше или равна AB. В таком случае: * Если BC=AB, то \(\angle\)BAC = \(\angle\)BCA , противоречие условию. * Если BC < AB, то по ранее доказанному в пункте 1, \(\angle\)BAC < \(\angle\)BCA противоречие условию. Отсюда, BC > AB. То есть сторона напротив большего угла будет больше. Итого: доказано, что против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.