9. Докажите, что сумма синусов острых углов прямоугольного треугольника не превосходит \(\sqrt{2}\).

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с углом C = 90 градусов. Тогда углы A и B острые. Значит, \(A + B = 90^\circ\), и \(B = 90^\circ - A\). Рассмотрим сумму синусов этих углов: \(sin A + sin B = sin A + sin (90^\circ - A) = sin A + cos A\). Преобразуем это выражение: \(sin A + cos A = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} sin A + \frac{1}{\sqrt{2}} cos A) = \sqrt{2} (cos 45^\circ sin A + sin 45^\circ cos A) = \sqrt{2} sin (A + 45^\circ)\). Поскольку синус любого угла не превышает 1, то \(sin (A + 45^\circ) \le 1\). Тогда \(\sqrt{2} sin (A + 45^\circ) \le \sqrt{2}\). Следовательно, \(sin A + sin B \le \sqrt{2}\). Что и требовалось доказать.