8. Найдите косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, если высота проведенная к боковой стороне меньше этой стороны в 3 раза.

Пусть ABC равнобедренный треугольник, AB = BC. Высота, проведенная из A к BC, равна \(h\). Тогда \(BC = 3h\). Пусть угол при вершине B равен \(\beta\). Площадь треугольника ABC можно выразить как \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3h \cdot h = \frac{3}{2}h^2\). Также \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin \beta = \frac{1}{2} (3h)^2 sin \beta = \frac{9}{2}h^2 sin \beta\). Приравниваем оба выражения для площади: \(\frac{3}{2}h^2 = \frac{9}{2}h^2 sin \beta\). Тогда \(sin \beta = \frac{1}{3}\). \(cos^2 \beta + sin^2 \beta = 1\), следовательно \(cos^2 \beta = 1 - sin^2 \beta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\). Тогда \(cos \beta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\). Ответ: \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\).