287*. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство: Пусть дана прямая l. Рассмотрим множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии d от прямой l и лежащих по одну сторону от нее. Докажем, что это множество точек образует прямую, параллельную l. Рассмотрим две произвольные точки A и B из этого множества. Расстояние от A до l равно d, и расстояние от B до l также равно d. Опустим перпендикуляры AA' и BB' на прямую l. Тогда AA' = BB' = d. Рассмотрим четырехугольник AA'B'B. Углы A' и B' прямые, а AA' = BB'. Значит, AA'B'B - прямоугольник. Следовательно, AB параллельна A'B', то есть AB параллельна l. Таким образом, все точки, равноудаленные от l и расположенные по одну сторону от нее, лежат на прямой, параллельной l.