290. Прямые a и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где Xe a, Yє b, лежат на прямой, параллельной прямым a и b и равноудаленной от этих прямых.

Доказательство: Пусть даны параллельные прямые a и b. Рассмотрим произвольные точки X на прямой a и Y на прямой b. Пусть M - середина отрезка XY. Докажем, что все такие точки M лежат на прямой, параллельной a и b, и равноудаленной от них. Возьмем две пары точек: X1 на a, Y1 на b, и X2 на a, Y2 на b. Пусть M1 - середина X1Y1, M2 - середина X2Y2. Проведем прямую через M1 и M2. Опустим перпендикуляры из X1, X2, Y1, Y2, M1, M2 на одну из прямых (например, на прямую a). Так как M1 и M2 - середины, то координаты M1 и M2 будут средними арифметическими координат X1, Y1 и X2, Y2 соответственно. Следовательно, M1 и M2 будут равноудалены от прямых a и b, а прямая, проходящая через M1 и M2, будет параллельна a и b. Таким образом, все середины отрезков XY лежат на прямой, параллельной a и b, и равноудаленной от них.