283. На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка M, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что CM — высота треугольника ABC.

Доказательство: Пусть в равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) точка M на основании AB равноудалена от боковых сторон, то есть MD = ME, где D и E - основания перпендикуляров, опущенных из M на AC и BC соответственно. Нужно доказать, что CM - высота, то есть CM перпендикулярна AB. Рассмотрим треугольники MDC и MEC. Они прямоугольные (по построению перпендикуляров). MD = ME (по условию), CM - общая сторона. Следовательно, треугольники равны по катету и гипотенузе. Значит, угол MCD равен углу MCE. Таким образом, CM - биссектриса угла ACB. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, биссектриса CM также является медианой и высотой. Значит, CM перпендикулярна AB. Что и требовалось доказать.