Докажите признаки ромба. Параллелограмма является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

а) Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и AC ⟂ BD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC. В прямоугольных треугольниках AOB и COB катет BO общий, а AO = OC. Треугольники равны, значит AB = BC. Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб.

б) Пусть диагональ AC делит угол A пополам. Тогда ∠BAC = ∠CAD. Поскольку AD ∥ BC, ∠CAD = ∠ACB (накрест лежащие углы). Следовательно, ∠BAC = ∠ACB, откуда AB = BC. Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб.

Что и требовалось доказать.