15. Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площа дью 420 м². Первый каменщик в день укладывает на 7 м² плитки больше, чем второй, и выполня ет всю работу на 5 дней быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик? Запишите решение и ответ.

Пошаговое решение:

1. Пусть \(x\) м² - плитки укладывает в день первый каменщик, тогда второй укладывает \(x - 7\) м².
2. Время, за которое первый каменщик укладывает участок: \(\frac{420}{x}\) дней. Время, за которое второй каменщик укладывает участок: \(\frac{420}{x-7}\) дней.
3. По условию первый каменщик выполняет работу на 5 дней быстрее: \[\frac{420}{x-7} - \frac{420}{x} = 5\]
4. Решаем уравнение: \[\frac{420x - 420(x-7)}{x(x-7)} = 5\] \[\frac{420x - 420x + 2940}{x^2 - 7x} = 5\] \[2940 = 5(x^2 - 7x)\] \[5x^2 - 35x - 2940 = 0\] \[x^2 - 7x - 588 = 0\]
5. Найдем дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-588) = 49 + 2352 = 2401 = 49^2\]
6. Найдем корни: \[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 49}{2} = \frac{56}{2} = 28\] \[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 49}{2} = \frac{-42}{2} = -21\]
7. Так как производительность не может быть отрицательной, то \(x = 28\).

Ответ: 28 м² плитки укладывает в день первый каменщик.