1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $$3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$$, $$4 \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$$, $$4 \frac{4}{5} = \frac{24}{5}$$.
2. Выполним первое деление: $$\frac{7}{2} : \frac{14}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{14} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$$.
3. Выполним второе деление: $$\frac{14}{3} : \frac{7}{2} = \frac{14}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{28}{21} = \frac{4}{3}$$.
4. Выполним сложение в скобках: $$\frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{9+16}{12} = \frac{25}{12}$$.
5. Выполним умножение: $$\frac{25}{12} \cdot \frac{24}{5} = \frac{25 \cdot 24}{12 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 12 \cdot 2}{12 \cdot 5} = 10$$.
Ответ: 10