6. 9 и 12. Площадь ее поверхности равна 504. Найдите высоту призмы. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь ее поверхности равна 504. Нужно найти высоту призмы.

Площадь поверхности прямой призмы равна сумме площадей боковой поверхности и двух площадей основания:

$$S = S_{бок} + 2S_{осн}$$

$$S_{бок} = S - 2S_{осн}$$

Площадь основания (прямоугольного треугольника) равна:

$$S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = 504 - 2 \cdot 54 = 504 - 108 = 396$$

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы.

$$S_{бок} = P \cdot h$$

Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$

Периметр основания:

$$P = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36$$

Высота призмы:

$$h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{396}{36} = 11$$

Ответ: 11