9. точки А, А1 и С. В правильной четырёхугольной призме АABCDA1B1C1D1 ребро АА1 равно 7, а диагональ BD1 равна 25. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через

В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ ребро $$AA_1 = 7$$, а диагональ $$BD_1 = 25$$. Нужно найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $$A, A_1$$ и $$C$$.

Сечение $$AA_1C_1C$$ представляет собой прямоугольник, так как призма правильная, и боковые грани перпендикулярны основанию.

Площадь сечения равна произведению стороны $$AA_1$$ на сторону $$AC$$.

$$S = AA_1 \cdot AC$$

Диагональ $$BD_1$$ можно найти, как гипотенузу прямоугольного треугольника $$B_1DD_1$$, образованного диагональю основания $$BD$$ и высотой $$DD_1$$.

$$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$$

$$25^2 = BD^2 + 7^2$$

$$BD^2 = 625 - 49 = 576$$

$$BD = \sqrt{576} = 24$$

Так как в основании лежит квадрат, то диагонали квадрата равны и $$AC = BD = 24$$.

Тогда площадь сечения:

$$S = 7 \cdot 24 = 168$$

Ответ: 168