I вариант. 2. Найти первообразную, график которой проходит через т. A: а) f(x)=3x²−2x+4; A(−1;1); б) f(x)=4x+1/x²; A(−1;4); в) f(x)=sin2x; A(π/4;−2).

Сначала находим общую первообразную, затем подставляем координаты точки A.

а) \(F(x)=x^3-x^2+4x+C\). Из условия \(F(-1)=1\): \(-1-1-4+C=1\), поэтому \(C=7\). Искомая первообразная: \(F(x)=x^3-x^2+4x+7\).

б) \(F(x)=2x^2-\frac1x+C\). Из условия \(F(-1)=4\): \(2+1+C=4\), поэтому \(C=1\). Искомая первообразная: \(F(x)=2x^2-\frac1x+1\).

в) \(F(x)=-\frac12\cos2x+C\). Так как \(\cos(\pi/2)=0\), условие \(F(\pi/4)=-2\) даёт \(C=-2\). Искомая первообразная: \(F(x)=-\frac12\cos2x-2\).