II вариант. 2. Найти первообразную, график которой проходит через т. A: а) f(x)=4x−6x²+1; A(0;2); б) f(x)=1/x²−10x⁴+3; A(1;5); в) f(x)=√2 cosx; A(π/4;2).

Сначала находим общую первообразную, затем подставляем координаты точки A.

а) \(F(x)=2x^2-2x^3+x+C\). Из условия \(F(0)=2\) получаем \(C=2\). Искомая первообразная: \(F(x)=2x^2-2x^3+x+2\).

б) \(F(x)=-\frac1x-2x^5+3x+C\). Из условия \(F(1)=5\): \(-1-2+3+C=5\), поэтому \(C=5\). Искомая первообразная: \(F(x)=-\frac1x-2x^5+3x+5\).

в) \(F(x)=\sqrt2\sin x+C\). Так как \(\sqrt2\sin(\pi/4)=1\), условие \(F(\pi/4)=2\) даёт \(C=1\). Искомая первообразная: \(F(x)=\sqrt2\sin x+1\).