II вариант. 3. Вычислить интеграл: а) ∫₁⁴(4/x²+2x−3x²)dx; б) ∫₁⁴(4x³−3√x)dx; в) ∫₀^{π/4}2dx/sin²(2x+π/4).

Question

Вопрос: $Фото задания: II вариант. 3. Вычислить интеграл: а) ∫₁⁴(4/x²+2x−3x²)dx; б) ∫₁⁴(4x³−3√x)dx; в) ∫₀^{π/4}2dx/sin²(2x+π/4).$ Фото задания

Accepted Answer

а) Первообразная: $-\frac4x+x^2-x^3$. Поэтому $\left[-\frac4x+x^2-x^3\right]_1^4=(-1+16-64)-(-4+1-1)=-45$.

б) Первообразная: $x^4-2x^{3/2}$. Поэтому $\left[x^4-2x^{3/2}\right]_1^4=(256-16)-(1-2)=241$.

в) Подстановка $u=2x+\frac\pi4$, $du=2\,dx$, даёт $\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{du}{\sin^2u}=[-\cot u]_{\pi/4}^{3\pi/4}=1-(-1)=2$.

Ответ: а) −45; б) 241; в) 2.