I вариант. 5. Точка M равноудалена от всех сторон правильного треугольника ABC, сторона которого равна 4 см. Расстояние от точки M до плоскости ABC равно 2 см. Докажите, что плоскость AMO перпендикулярна плоскости BMC (O — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость ABC). Найдите угол между плоскостью BMC и плоскостью ABC.

Проекция M на плоскость ABC равноудалена от всех сторон треугольника, поэтому O — центр вписанной окружности. В правильном треугольнике AO проходит через середину BC и перпендикулярен BC. Кроме того, MO ⟂ плоскости ABC, следовательно, MO ⟂ BC. Значит, BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AO и MO плоскости AMO, поэтому BC ⟂ плоскости AMO.

Плоскость BMC содержит BC. Поскольку плоскость AMO перпендикулярна BC, она перпендикулярна плоскости BMC. Следовательно, требуемое утверждение о перпендикулярности плоскостей AMO и BMC доказано.

Пусть N — середина BC. В сечении плоскостью, перпендикулярной BC, угол между плоскостями BMC и ABC равен углу MNO. Радиус вписанной окружности правильного треугольника со стороной 4 равен ON = 2√3/3. Так как MO = 2, то tan ∠MNO = MO/ON = √3, откуда ∠MNO = 60°.

Ответ: плоскости AMO и BMC перпендикулярны; угол между плоскостями BMC и ABC равен 60°.