2. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите его высоты. 8 А) 5 см, 413 см, 12 см. Б) 2,5 см, 6 см, 13 см. В) 5 см, 8,5 см, 12 см. Г) 25 см, 144 см, 169 см.

2. Дано: прямоугольный треугольник, катеты $$a = 5$$ см, $$b = 12$$ см.

Найти: все высоты треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике два катета являются высотами, проведенными к другим катетам. Следовательно, две высоты известны: $$h_a = b = 12$$ см, $$h_b = a = 5$$ см.

Найдем гипотенузу c по теореме Пифагора:

$$ c^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$ $$ c = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения катетов:

$$ S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ см}^2 $$

Также площадь можно вычислить через гипотенузу и высоту, проведенную к ней:

$$ S = \frac{1}{2} c h_c $$

Выразим высоту, проведенную к гипотенузе:

$$ h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 30}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.615 \text{ см} $$

Теперь сравним полученные результаты с предложенными вариантами ответов. Заметим, что ни один из вариантов не совпадает с вычисленными значениями высот (5 см, 12 см, 60/13 см). Скорее всего, в условии задачи в вариантах ответов допущена опечатка, или неверно указаны числа.

Однако, можно предположить, что вариант А) подразумевает высоты 5 см, 12 см и гипотенузу, деленную на 13, то есть 413 (что явно не высота). Или же числа даны в другом порядке.

Так как точного ответа среди предложенных нет, наиболее близким по значениям (5 см, 12 см) можно считать вариант А, но нужно учитывать, что 413 здесь явно лишнее число.

Ответ: А) 5 см, 413 см, 12 см (с оговоркой о неточности)