8. Найдите высоту ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а площадьравна 96 см². А) 4,8 см. Б) 6 см. В) 8 см. Г) 6,4 см.

8. Дано: ромб, диагонали относятся как 3:4, площадь равна 96 см^2.

Найти: высоту ромба.

Решение:

Пусть диагонали ромба равны $$d_1$$ и $$d_2$$. Из условия следует, что $$d_1 : d_2 = 3 : 4$$, то есть $$d_1 = 3x$$ и $$d_2 = 4x$$ для некоторого x.

Площадь ромба через диагонали выражается формулой:

$$ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 $$

Подставим известные значения:

$$ 96 = \frac{1}{2} (3x)(4x) = 6x^2 $$ $$ x^2 = \frac{96}{6} = 16 $$ $$ x = \sqrt{16} = 4 $$

Тогда $$d_1 = 3 \cdot 4 = 12$$ см и $$d_2 = 4 \cdot 4 = 16$$ см.

С другой стороны, площадь ромба можно выразить через сторону a и высоту h:

$$ S = a h $$

Найдем сторону ромба. Так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения, можно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:

$$ a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = (\frac{12}{2})^2 + (\frac{16}{2})^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $$ $$ a = \sqrt{100} = 10 \text{ см} $$

Теперь найдем высоту h:

$$ S = a h $$ $$ h = \frac{S}{a} = \frac{96}{10} = 9.6 \text{ см} $$

Сравним с предложенными вариантами: ни один не совпадает.

Ответ: Нет верного ответа.