7. Найдите площадь равностороннего треугольника по его высоте h. √3 √3 3 A) 3h. 5) 2 h. B) 3 h². г) 12 п.

7. Дано: равносторонний треугольник, высота = h.

Найти: площадь треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой.

Выразим сторону a через высоту h. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны a, высотой h и стороной a.

По теореме Пифагора:

$$ a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 $$ $$ a^2 - \frac{a^2}{4} = h^2 $$ $$ \frac{3a^2}{4} = h^2 $$ $$ a^2 = \frac{4h^2}{3} $$ $$ a = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}} $$

Площадь равностороннего треугольника можно выразить как:

$$ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4h^2}{3} = \frac{\sqrt{3}h^2}{3} $$

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{3}$$:

$$ S = \frac{\sqrt{3}h^2}{3} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3} h^2}{3 \sqrt{3}} = \frac{3h^2}{3 \sqrt{3}} = \frac{h^2}{\sqrt{3}} $$

Сравним с предложенными вариантами:

• A) $$ \sqrt{3}h $$
• Б) $$ \frac{\sqrt{3}}{2} h $$
• В) $$ \frac{\sqrt{3}}{3} h^2$$
• Г) $$ \frac{\sqrt{3}}{12} h^2 $$

Получается, ни один из предложенных ответов не совпадает с полученным результатом.

Ответ: В) $$\frac{\sqrt{3}}{3} h^2$$