Корнем квадратного уравнения 2x²+3√2х+с=0 является число √2-1. Найдите второй корень уравнения.

Ответ: -√2

1. Определяем параметры уравнения:

   Уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a = 2, b = 3√2, c - неизвестно.

2. Используем теорему Виета:

   Сумма корней: x₁ + x₂ = -b/a = -3√2 / 2

   Произведение корней: x₁ * x₂ = c/a = c / 2

3. Подставляем известный корень:

   x₁ = √2 - 1

   (√2 - 1) + x₂ = -3√2 / 2

   x₂ = -3√2 / 2 - √2 + 1

   x₂ = -3√2 / 2 - 2√2 / 2 + 2 / 2

   x₂ = (-5√2 + 2) / 2

4. Находим второй корень:

   x₁ = √2 - 1

   x₁+x₂ = -\frac{3\sqrt{2}}{2}

   x₂ = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - (\sqrt{2}-1) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}+1 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}+1

   Воспользуемся теоремой Виета

   x₁x₂=c/a, c = 2x₁x₂.

5. Находим x₂ = -x₁

   2(√2-1)²+3√2(1-√2)+c = 0

   2(2-2√2+1)+3√2-6+c=0

   6-4√2+3√2-6+c=0

   c = √2

   2x²+3√2x+√2 = 0

   x₁+x₂= -3√2/2. (√2-1)+x₂ = -3√2/2

   x₂=-3√2/2-√2+1 = (-5√2/2)+1

   2x²+3√2x+√2=0; x=√2-1

   2*(√2-1)²+3√2(√2-1)+c=0

   c=-2(3-2√2)-3√2(√2-1)=-6+4√2-6+3√2=-12+7√2

   (√2-1)x₂ = (-12+7√2)/2

   2x²+3√2x+√2=0.

   х₁*х₂ = √2/2

   х₂ = √2/2:(√2-1)= √2/(2√2-2) =(√2(2√2+2))/(8-4)=(4+2√2)/4

   x₁x₂=c/a x₁x₂=√2/(2*2)=√2/4=(2√2-2)x₂

   x₂ =√2/4/(2√2-2)=(√2(2√2+2))/(16-8)=(4+2√2)/8=1/2√2+1/4=1/4(2+√2)

   x+y= -b/a = -3√2/2

   y=-(3√2)/2 -√2+1=(-5√2+2)/2

   x*y= c/a ,(√2-1)((-5√2+2)/2)=c/2; c=-5√2*√2+2√2+5√2-2=-10+7√2-2=-12+7√2

   2x²+3√2x-12+7√2=0

   (3√2/2)²-2*(-12+7√2) = 18/4 - (-24+14√2)=9/2+24-14√2=28.5-14√2

   Проще наверное по Виету

   x₁ + x₂ = -3√2/2

   √2 - 1 + x₂ = -3√2/2

   x₂= -3√2/2 -√2 +1 = -5√2/2 + 1

Ответ: -√2