12. log1 10 2+x=1081x+1 5 5

Решим уравнение $$log_{\frac{1}{5}} \frac{2+x}{10} = log_{\frac{1}{5}} (x+1)$$.

Так как основания логарифмов равны, то можем приравнять аргументы:

$$\frac{2+x}{10} = x+1$$

$$2+x = 10x+10$$

$$9x = -8$$

$$x = -\frac{8}{9}$$

Проверим, что $$x+1 > 0$$ и $$\frac{2+x}{10} > 0$$ при $$x = -\frac{8}{9}$$:

$$x+1 = -\frac{8}{9} + 1 = \frac{1}{9} > 0$$

$$\frac{2+x}{10} = \frac{2-\frac{8}{9}}{10} = \frac{\frac{10}{9}}{10} = \frac{1}{9} > 0$$

Оба условия выполняются, значит корень $$x = -\frac{8}{9}$$ является решением уравнения.

Ответ: $$-\frac{8}{9}$$