Моторная лодка прошла против течения реки 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Решение:

1. Обозначим переменные:

• Пусть \( v_л \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
• Скорость течения \( v_т = 4 \) км/ч.
• Расстояние \( S = 8 \) км (туда и обратно).

2. Определим скорости лодки:

• Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v_л - v_т = v_л - 4 \) (км/ч).
• Скорость лодки по течению (обратный путь): \( v_{по \; теч} = v_л + v_т = v_л + 4 \) (км/ч).

3. Определим время движения:

• Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{8}{v_л - 4} \) (ч).
• Время движения по течению: \( t_{по \; теч} = \frac{S}{v_{по \; теч}} = \frac{8}{v_л + 4} \) (ч).

4. Составим уравнение на основе условия о времени:

На обратный путь (по течению) лодка затратила на 30 минут меньше. 30 минут = 0,5 часа.

\( t_{против} - t_{по \; теч} = 0.5 \)

\( \frac{8}{v_л - 4} - \frac{8}{v_л + 4} = 0.5 \)

5. Решим уравнение:

Приведём дроби к общему знаменателю \( (v_л - 4)(v_л + 4) = v_л^2 - 16 \).

\( \frac{8(v_л + 4) - 8(v_л - 4)}{(v_л - 4)(v_л + 4)} = 0.5 \)

\( \frac{8v_л + 32 - 8v_л + 32}{v_л^2 - 16} = 0.5 \)

\( \frac{64}{v_л^2 - 16} = 0.5 \)

Умножим обе части на \( v_л^2 - 16 \) (при условии \( v_л^2 - 16 \neq 0 \), т.е. \( v_л \neq \pm 4 \)):

\( 64 = 0.5 (v_л^2 - 16) \)

Разделим обе части на 0.5 (умножим на 2):

\( 128 = v_л^2 - 16 \)

\( v_л^2 = 128 + 16 \)

\( v_л^2 = 144 \)

\( v_л = \pm \sqrt{144} \)

\( v_л = \pm 12 \).

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

\( v_л = 12 \) км/ч.

Проверим условие \( v_л \neq 4 \): \( 12 \neq 4 \). Условие выполняется.

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч.