В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти её членов.

Решение:

Дано: арифметическая прогрессия ( \(a_n\) ).

• Второй член \( a_2 = 9 \).
• Разность прогрессии \( d = 20 \).

1. Найдём первый член прогрессии \( a_1 \).

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Для второго члена: \( a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d \).

Подставим известные значения:

\( 9 = a_1 + 20 \)

\( a_1 = 9 - 20 \)

\( a_1 = -11 \).

2. Найдём десятый член прогрессии \( a_{10} \).

Используем ту же формулу:

\( a_{10} = a_1 + (10-1)d \)

\( a_{10} = -11 + (9 \cdot 20) \)

\( a_{10} = -11 + 180 \)

\( a_{10} = 169 \).

3. Найдём сумму первых десяти членов прогрессии \( S_{10} \).

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

Подставим найденные значения \( a_1 = -11 \), \( a_{10} = 169 \) и \( n = 10 \):

\( S_{10} = \frac{-11 + 169}{2} \cdot 10 \)

\( S_{10} = \frac{158}{2} \cdot 10 \)

\( S_{10} = 79 \cdot 10 \)

\( S_{10} = 790 \).

Ответ: Десятый член прогрессии равен 169. Сумма первых десяти членов равна 790.