576. На пружине жёсткостью 200 Н/м совершает колебания груз массой 0,5 кг. Найдите период и частоту колебаний этого груза. Чему будут равны период и частота колебаний, если взять пружину жёсткостью в 4 раза большей; в 4 раза меньшей?

Период колебаний груза на пружине:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$, где

$$m$$ - масса груза, $$k$$ - жесткость пружины.

Частота колебаний груза на пружине:

$$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$, где

$$m$$ - масса груза, $$k$$ - жесткость пружины.

1. Для пружины жёсткостью 200 Н/м и груза 0,5 кг:

   $$T = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.5}{200}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.0025} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 0.05 = 0.314 \text{ c}$$.

   $$f = \frac{1}{2 \cdot 3.14} \cdot \sqrt{\frac{200}{0.5}} \approx \frac{1}{6.28} \cdot \sqrt{400} \approx \frac{20}{6.28} \approx 3.18 \text{ Гц}$$.

2. Для пружины жёсткостью в 4 раза большей (800 Н/м) и груза 0,5 кг:

   $$T = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.5}{800}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.000625} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 0.025 = 0.157 \text{ c}$$.

   $$f = \frac{1}{2 \cdot 3.14} \cdot \sqrt{\frac{800}{0.5}} \approx \frac{1}{6.28} \cdot \sqrt{1600} \approx \frac{40}{6.28} \approx 6.37 \text{ Гц}$$.

3. Для пружины жёсткостью в 4 раза меньшей (50 Н/м) и груза 0,5 кг:

   $$T = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.5}{50}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.01} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 0.1 = 0.628 \text{ c}$$.

   $$f = \frac{1}{2 \cdot 3.14} \cdot \sqrt{\frac{50}{0.5}} \approx \frac{1}{6.28} \cdot \sqrt{100} \approx \frac{10}{6.28} \approx 1.59 \text{ Гц}$$.

Ответ: для пружины 200 Н/м период 0,314 с, частота 3,18 Гц; для пружины в 4 раза большей (800 Н/м) период 0,157 с, частота 6,37 Гц; для пружины в 4 раза меньшей (50 Н/м) период 0,628 с, частота 1,59 Гц.