458 Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объём призмы.

Дано: правильная шестиугольная призма, наибольшая диагональ равна 8 см, угол между наибольшей диагональю и боковым ребром равен 30°.

Найти: V

Решение:

Т.к. призма правильная, то в основании лежит правильный шестиугольник, у которого все стороны равны.

Пусть $$AA_1C = 30°$$, тогда $$AC = 8 \cdot cos30° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$ см

$$AA_1 = 8 \cdot sin30° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$ см

Т.к. AC - наибольшая диагональ, то она состоит из двух сторон шестиугольника, т.е. $$2a = 4\sqrt{3}$$, где а - сторона шестиугольника, тогда $$a = 2\sqrt{3}$$

Площадь правильного шестиугольника равна $$S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 (2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 3 \sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$$ см²

Объем призмы равен $$V = S \cdot h = 18\sqrt{3} \cdot 4 = 72\sqrt{3}$$ см³

Ответ: $$V = 72\sqrt{3}$$ см³